第二百零二章 两条不同的路
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打发走四名学生后，徐川再度站到了费弗曼教授抒写数学的黑板前。
n-s方程，全名-纳维-斯托克斯方程，是一个描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
广义上来说，它并不是一个方程，而是数个方程组成的一个方程组。
比如由纳维在1827年最先提出粘性流体的运动方程；
比如泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程；
亦或者圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为okes方程。
这些方程反映了粘性流体流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
但它的求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解。
截止到目前，数学界对其的推进也只不过是‘在给定的初始值的某种范数适当小，或流体运动区域适当小的假设条件下，n·s方程的整体光滑解的存在”这一步而已。
这对于整体的ns方程来说，几乎可以说完全没有什么推进。
毕竟当雷诺数re≥1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中的粘性项几乎可以忽略。
而忽略掉了粘性项后，n-s方程可以简化为理想流动中的欧拉方程。
如果是单纯的对欧拉方程进行求解的话，并不难。
但很显然，这种地步的求解，并不符合徐川对于ns方程的要求。
对于n·s方程而言，他不要求完全解决掉这个问题，去求证出解的光滑性，也不梦想能计算出最终解。
但至少，他想要做到能在给定一定的初始条件和边界条件下，可以确定流体的流动。
这是控制可控核聚变反应堆腔室中超高温等离子体流动的基础要求。
如果这个都做不到，后续的湍流模型和控制系统那就更别想了。
而费弗曼叫教授罗列在眼前黑板上的这些算式，能为推进到这一步带来希望。
如果能解决掉这个等谱问题，他和费弗曼就能将ns方程就能往下推进一小步。
至少，能做到在曲面空间中，给定一个初始条件和边界条件，确定解的存在并且光滑。
别小看只是一小步，但数学界用了一百五十年的时间都没有的做到过。
所以徐川迫切的希望能够解决这个问题。
.......
站在黑板前，徐川沉思了良久，最终依旧是摇了摇头。
对于等谱非等距同构猜想，他暂时并没有什么想法，无论是拉普拉斯算子还是椭圆算子，亦或者有界连通区域入手，他都看不到什么希望。
至少，这些方向并没有给他带来什么让人眼前一亮的想法或者思路。
摇了摇头，徐川重新回到了办公桌前，暂时放弃掉去等谱问题的突破，开始整理这段时间和费弗曼的交流。
或许费弗曼说的没错，灵感说不定就在整理资料的自己冒出来了呢？
但遗憾的是，这一预言的灵感直到他将思路和想法整理完毕也没有冒出来。
好在他并不是一个急性子，长期的科研经历让徐川知道，越是面对这种世界级的难题，越是要沉住气稳住心才行。
一个人在急迫，慌乱的时候，做出的选择和决定，不说百分百都是错的，但选错的概率，无疑是相当大的。
最好的办法，就是理清思路，从基础做起了。
解决问题要找关键，而解决数学问题的一种方法是将它们分解成更小、更易于管理的部分。
这种方法被称为“分而治之”。
通过将问题分成更小的部分，可以让它变得更容易理解和解决。
此外，将问题分成更小的部分可以帮助识别在从整体上看问题时可能不会立即显现的模式和关系。
当然，这种方法并不适用于所有的数学猜想。
因为有些数学猜想无法被拆分。
但对于等谱非等距同构猜想而言，它并不属于无法被拆分的问题，它的基础构建于近代微分几何上的数学难题，融合了谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量等方向的数学知识。
在这个基础上，徐川将其拆分成了原始的数学架构，然后从这辈子最熟悉的谱理论与等谱数学出发，去一点点的完善和解决的这些问题。
这种手段在物理领域也很常见，一般说来，复杂的物理过程都是由若干个简单的“子过程”构成的。
因此，分析物理过程的最基本方法，就是把复杂的问题层次化，把它化解为多个相互关联的“子过程”来研究。
这种方法不仅仅在初高中大学这种学生时代有用，哪怕进入了研究生，博士生，也依旧能适应于各种物理领域。
而数学的拆分法，和物理的分析法，有着异曲同工之妙。
所以徐川用起来还是挺得心应手的，至少需要花费大量时间去学习一种新的数学研究方法。
......
接下来一周多的时间，徐川都在专心尝试用这种方法去解决等谱非等距同构猜想，而普林斯顿每周的授课，他都交给了较为年长一些的罗杰·迪恩。
今年已经三十一的罗杰·迪恩在意呆利米兰理工大学已经快成了博士学位，甚至毕业论文都已经准备好了，来普林斯顿是进修的，代替他给那些本科生讲课并没有什么问题。
当然，徐川也不白嫖人家的劳动力，尽管按照学术界的潜规则，他白嫖也没关系，但他还是给这个学生在普林斯顿申请了一份实习助理的职位。
有这份职位，罗杰·迪恩能享受普林斯顿的一些补助，虽然并不多，但足够支撑他的日常生活了。
而且有这份经历，日后罗杰·迪恩如果申请普林斯顿的助理教授的话，会容易不少。
这也算是徐川给这位学生的一些报酬，毕竟他不是那种无良各种压榨学生的导师，也做不出白嫖学生劳动力的事情。
当然，并不是所有人都会这样，对于一些博士生导师而言，安排自己带的学生代替自己去上课是理所当然的事情。
报酬什么的，恐怕他们从未想过。
甚至还存在极少部分的导师，恨不得占据学生自己独立研发的每一份成果。
......
办公室中，已经十多天没有过来的费弗曼教授再次来到了这边。
“费弗曼教授。”
徐川打了个招呼，让阿米莉亚泡了两杯咖啡过来。
“谢谢。”从阿米莉亚手中接过咖啡后，费弗曼吹了吹上面的浮沫，小小的喝了口后，看向徐川：“徐，关于上次的那个等谱问题，我或许有了一点思路。”
“你说。”
徐川点了点头，示意自己在听。
其实不光是的费弗曼教授有了思路和灵感，这些天他一直都在拆分研究等谱非等距同构猜想，心中也有了一些想法。
费弗曼沉吟了一下，组织了一下思路后开口道：“研究一个流形的谱是黎曼几何的一个基本问题.对于紧致黎曼流形来说，所有的谱都是点谱，即拉普拉斯算子的所有的谱都由那些重数为有限的特征值组成，而对于完备非紧流形来说，情况要复杂的多。”
“假设Ω是 的一个开区域， u是定义在Ω上的一个光滑函数， u的 hessian矩阵为（?2u\/?zj?zk），其特征值为λ1，λ2......λn，定义复 hessian算子为......”
“通过光滑函数逼近，使 pm中也包括非光滑函数.称 u∈ dm，若存在一个正则的borel测度μ以及一个单调下降的光滑函数序列{uj}? pm使得 hm(uj )→μ，并且记为 hm(u)=μ.....”
“......”
“如果从这方面入手的话，或许有希望能深入到等谱非等距同构猜想中。”
“不知道你怎么看？”
将自己的思路说出来后，费弗曼期待的看向徐川。
徐川没有立即回答，手指在办公桌规律的敲击着，他从费弗曼的话语中，看到了另一条通向等谱问题的道路。
一类二阶完全非线性偏微分方程的格林函数，这是一条他此前没有想过的道路。
但这条道路从费弗曼的口中说出来，他敏锐的察觉到似乎同样可行。
沉思了一会，徐川停下敲击红木办公桌的手指开口道：“从非线性偏微方程方向出发，利用狄利克雷函数来研究等谱问题，这一方向是我没有想过的。”
“不过单从直觉来看，这或许是条可行的道路，完全值得一试。”
闻言，费弗曼嘴角扬起了一丝笑容：“那让我们出发吧。”
徐川笑了笑，道：“不急，关于等谱非等距同构猜想问题，我这边也有一些想法，你要不要听听？”
费弗曼眼神中划过一丝惊讶，不过很快就被好奇覆盖了，他迅速回道：“当然。”
徐川起身，走到办公室的边缘，将之前使用过的黑板从角落中拖了出来，拾起一支粉笔，整理了一下思路后在上面写道：
“（p）{-△u=λu，x∈Ω；u=0，x∈Γ1；δu\/δn=0，x∈Γ2......”
“这里Γ是Ω的边界，并且Γ=Γ1uΓ2，Ω是rn中有界非空开集，或一般的具有限勒贝格测度的n维区域，△ce算子，t1和t2都非空.我们定义......”
“谱谱6(p)是离散的，按其特征值的有限重数可排列成0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…并且当k→00时，入k→0，定义n(o，-λ，λ)=#{k∈n]ょ........
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“......”
办公室中，徐川手持粉笔在黑板上书写着自己的思路与想法，费弗曼教授则站在身后观看着。
到了他们这个层次的数学家，并不需要报告者过多的详细介绍自己的想法，从书写出来的公式中，完全就可以看出来。
而随着徐川的书写，费弗曼的眼神也逐渐明亮了起来，从一开始的好奇，到惊讶，再到惊愕了然。
正如徐川从他的述说中看到了一条通向等谱非等距同构猜想问题的道路一样，他也从徐川书写中看到了一条完全不同的道路。
这条思路，同样有可能解决掉阻碍他们前进的困难。
不！
如果单从可能性上来说，黑板上的那条思路，解决等谱问题的可能性更大。
毕竟他只是提出了一条看似可行的道路，而徐川却在另一条道路上已经做了开辟。
这就好比一个人指着一块空地说我要在这里盖一栋房子，而另一个人已经用挖机将这块空地打理平整了一样。
两方同样是在空地上盖房子，但后者给人的可信度远高于前者。
......
将这些天脑海中的想法和整理出来的思路重述到眼前的黑板上后，徐川转身看向费弗曼。
“这就是我的思路，通过构造一个两两不相交的有界开域的集合，然后再利用拉普拉斯算子来完成对于r2和r3两个混合边值条件等谱非等距同构区域的构造。”
“或许它同样是一条可以通向解决等谱问题的道路。”
“不知道你怎么看？”
费弗曼提出的想法和他本身想到的思路是两条完全不同的路，但徐川并不觉得费弗曼是错的。
当然，他也不觉得他自己的想法是错的。
殊途同归，对于这种顶级的数学难题而言，它本身涉及的东西就很多，根本就没有什么解决问题的唯一方法。
它不像1+1=2永远恒定一样，无论是从狄利克雷函数和非线性偏微分方程出发，还是构造有界开域集合，利用拉普拉斯算子来完成非等距同构区域的构造，两者都是解决问题的方法。
尽管这两种方法的差别相差很大。
但数学发展至今，边界早已模湖。
数论、代数学、几何学、拓扑学、数学分析、.....函数论、常微分方程、偏微分方程这些数学的分类早已是你中有我，我中有你。
如今的数学，从一个看似不相关的领域出发，却解决另一个领域的重大难题早已不是什么稀奇的事情。
甚至还有很多的数学家，在专门尝试去将两个不同的领域连接起来。
亦如教皇格罗滕迪克奠定现代代数几何学基础后，无数数学家前仆后继的想要完成代数与几何的大统一一样。
......
打发走四名学生后，徐川再度站到了费弗曼教授抒写数学的黑板前。
n-s方程，全名-纳维-斯托克斯方程，是一个描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程。
广义上来说，它并不是一个方程，而是数个方程组成的一个方程组。
比如由纳维在1827年最先提出粘性流体的运动方程；
比如泊松在1831年提出可压缩流体的运动方程；
亦或者圣维南与斯托克斯在1845年独立提出粘性系数为一常数的形式，都称为okes方程。
这些方程反映了粘性流体流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。
但它的求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解。
截止到目前，数学界对其的推进也只不过是‘在给定的初始值的某种范数适当小，或流体运动区域适当小的假设条件下，n·s方程的整体光滑解的存在”这一步而已。
这对于整体的ns方程来说，几乎可以说完全没有什么推进。
毕竟当雷诺数re≥1时，绕流物体边界层外，粘性力远小于惯性力，方程中的粘性项几乎可以忽略。
而忽略掉了粘性项后，n-s方程可以简化为理想流动中的欧拉方程。
如果是单纯的对欧拉方程进行求解的话，并不难。
但很显然，这种地步的求解，并不符合徐川对于ns方程的要求。
对于n·s方程而言，他不要求完全解决掉这个问题，去求证出解的光滑性，也不梦想能计算出最终解。
但至少，他想要做到能在给定一定的初始条件和边界条件下，可以确定流体的流动。
这是控制可控核聚变反应堆腔室中超高温等离子体流动的基础要求。
如果这个都做不到，后续的湍流模型和控制系统那就更别想了。
而费弗曼叫教授罗列在眼前黑板上的这些算式，能为推进到这一步带来希望。
如果能解决掉这个等谱问题，他和费弗曼就能将ns方程就能往下推进一小步。
至少，能做到在曲面空间中，给定一个初始条件和边界条件，确定解的存在并且光滑。
别小看只是一小步，但数学界用了一百五十年的时间都没有的做到过。
所以徐川迫切的希望能够解决这个问题。
.......
站在黑板前，徐川沉思了良久，最终依旧是摇了摇头。
对于等谱非等距同构猜想，他暂时并没有什么想法，无论是拉普拉斯算子还是椭圆算子，亦或者有界连通区域入手，他都看不到什么希望。
至少，这些方向并没有给他带来什么让人眼前一亮的想法或者思路。
摇了摇头，徐川重新回到了办公桌前，暂时放弃掉去等谱问题的突破，开始整理这段时间和费弗曼的交流。
或许费弗曼说的没错，灵感说不定就在整理资料的自己冒出来了呢？
但遗憾的是，这一预言的灵感直到他将思路和想法整理完毕也没有冒出来。
好在他并不是一个急性子，长期的科研经历让徐川知道，越是面对这种世界级的难题，越是要沉住气稳住心才行。
一个人在急迫，慌乱的时候，做出的选择和决定，不说百分百都是错的，但选错的概率，无疑是相当大的。
最好的办法，就是理清思路，从基础做起了。
解决问题要找关键，而解决数学问题的一种方法是将它们分解成更小、更易于管理的部分。
这种方法被称为“分而治之”。
通过将问题分成更小的部分，可以让它变得更容易理解和解决。
此外，将问题分成更小的部分可以帮助识别在从整体上看问题时可能不会立即显现的模式和关系。
当然，这种方法并不适用于所有的数学猜想。
因为有些数学猜想无法被拆分。
但对于等谱非等距同构猜想而言，它并不属于无法被拆分的问题，它的基础构建于近代微分几何上的数学难题，融合了谱理论与等谱问题、曲率与拓扑不变量等方向的数学知识。
在这个基础上，徐川将其拆分成了原始的数学架构，然后从这辈子最熟悉的谱理论与等谱数学出发，去一点点的完善和解决的这些问题。
这种手段在物理领域也很常见，一般说来，复杂的物理过程都是由若干个简单的“子过程”构成的。
因此，分析物理过程的最基本方法，就是把复杂的问题层次化，把它化解为多个相互关联的“子过程”来研究。
这种方法不仅仅在初高中大学这种学生时代有用，哪怕进入了研究生，博士生，也依旧能适应于各种物理领域。
而数学的拆分法，和物理的分析法，有着异曲同工之妙。
所以徐川用起来还是挺得心应手的，至少需要花费大量时间去学习一种新的数学研究方法。
......
接下来一周多的时间，徐川都在专心尝试用这种方法去解决等谱非等距同构猜想，而普林斯顿每周的授课，他都交给了较为年长一些的罗杰·迪恩。
今年已经三十一的罗杰·迪恩在意呆利米兰理工大学已经快成了博士学位，甚至毕业论文都已经准备好了，来普林斯顿是进修的，代替他给那些本科生讲课并没有什么问题。
当然，徐川也不白嫖人家的劳动力，尽管按照学术界的潜规则，他白嫖也没关系，但他还是给这个学生在普林斯顿申请了一份实习助理的职位。
有这份职位，罗杰·迪恩能享受普林斯顿的一些补助，虽然并不多，但足够支撑他的日常生活了。
而且有这份经历，日后罗杰·迪恩如果申请普林斯顿的助理教授的话，会容易不少。
这也算是徐川给这位学生的一些报酬，毕竟他不是那种无良各种压榨学生的导师，也做不出白嫖学生劳动力的事情。
当然，并不是所有人都会这样，对于一些博士生导师而言，安排自己带的学生代替自己去上课是理所当然的事情。
报酬什么的，恐怕他们从未想过。
甚至还存在极少部分的导师，恨不得占据学生自己独立研发的每一份成果。
......
办公室中，已经十多天没有过来的费弗曼教授再次来到了这边。
“费弗曼教授。”
徐川打了个招呼，让阿米莉亚泡了两杯咖啡过来。
“谢谢。”从阿米莉亚手中接过咖啡后，费弗曼吹了吹上面的浮沫，小小的喝了口后，看向徐川：“徐，关于上次的那个等谱问题，我或许有了一点思路。”
“你说。”
徐川点了点头，示意自己在听。
其实不光是的费弗曼教授有了思路和灵感，这些天他一直都在拆分研究等谱非等距同构猜想，心中也有了一些想法。
费弗曼沉吟了一下，组织了一下思路后开口道：“研究一个流形的谱是黎曼几何的一个基本问题.对于紧致黎曼流形来说，所有的谱都是点谱，即拉普拉斯算子的所有的谱都由那些重数为有限的特征值组成，而对于完备非紧流形来说，情况要复杂的多。”
“假设Ω是 的一个开区域， u是定义在Ω上的一个光滑函数， u的 hessian矩阵为（?2u\/?zj?zk），其特征值为λ1，λ2......λn，定义复 hessian算子为......”
“通过光滑函数逼近，使 pm中也包括非光滑函数.称 u∈ dm，若存在一个正则的borel测度μ以及一个单调下降的光滑函数序列{uj}? pm使得 hm(uj )→μ，并且记为 hm(u)=μ.....”
“......”
“如果从这方面入手的话，或许有希望能深入到等谱非等距同构猜想中。”
“不知道你怎么看？”
将自己的思路说出来后，费弗曼期待的看向徐川。
徐川没有立即回答，手指在办公桌规律的敲击着，他从费弗曼的话语中，看到了另一条通向等谱问题的道路。
一类二阶完全非线性偏微分方程的格林函数，这是一条他此前没有想过的道路。
但这条道路从费弗曼的口中说出来，他敏锐的察觉到似乎同样可行。
沉思了一会，徐川停下敲击红木办公桌的手指开口道：“从非线性偏微方程方向出发，利用狄利克雷函数来研究等谱问题，这一方向是我没有想过的。”
“不过单从直觉来看，这或许是条可行的道路，完全值得一试。”
闻言，费弗曼嘴角扬起了一丝笑容：“那让我们出发吧。”
徐川笑了笑，道：“不急，关于等谱非等距同构猜想问题，我这边也有一些想法，你要不要听听？”
费弗曼眼神中划过一丝惊讶，不过很快就被好奇覆盖了，他迅速回道：“当然。”
徐川起身，走到办公室的边缘，将之前使用过的黑板从角落中拖了出来，拾起一支粉笔，整理了一下思路后在上面写道：
“（p）{-△u=λu，x∈Ω；u=0，x∈Γ1；δu\/δn=0，x∈Γ2......”
“这里Γ是Ω的边界，并且Γ=Γ1uΓ2，Ω是rn中有界非空开集，或一般的具有限勒贝格测度的n维区域，△ce算子，t1和t2都非空.我们定义......”
“谱谱6(p)是离散的，按其特征值的有限重数可排列成0≤λ1≤λ2≤…≤λk≤…并且当k→00时，入k→0，定义n(o，-λ，λ)=#{k∈n]ょ........
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“......”
办公室中，徐川手持粉笔在黑板上书写着自己的思路与想法，费弗曼教授则站在身后观看着。
到了他们这个层次的数学家，并不需要报告者过多的详细介绍自己的想法，从书写出来的公式中，完全就可以看出来。
而随着徐川的书写，费弗曼的眼神也逐渐明亮了起来，从一开始的好奇，到惊讶，再到惊愕了然。
正如徐川从他的述说中看到了一条通向等谱非等距同构猜想问题的道路一样，他也从徐川书写中看到了一条完全不同的道路。
这条思路，同样有可能解决掉阻碍他们前进的困难。
不！
如果单从可能性上来说，黑板上的那条思路，解决等谱问题的可能性更大。
毕竟他只是提出了一条看似可行的道路，而徐川却在另一条道路上已经做了开辟。
这就好比一个人指着一块空地说我要在这里盖一栋房子，而另一个人已经用挖机将这块空地打理平整了一样。
两方同样是在空地上盖房子，但后者给人的可信度远高于前者。
......
将这些天脑海中的想法和整理出来的思路重述到眼前的黑板上后，徐川转身看向费弗曼。
“这就是我的思路，通过构造一个两两不相交的有界开域的集合，然后再利用拉普拉斯算子来完成对于r2和r3两个混合边值条件等谱非等距同构区域的构造。”
“或许它同样是一条可以通向解决等谱问题的道路。”
“不知道你怎么看？”
费弗曼提出的想法和他本身想到的思路是两条完全不同的路，但徐川并不觉得费弗曼是错的。
当然，他也不觉得他自己的想法是错的。
殊途同归，对于这种顶级的数学难题而言，它本身涉及的东西就很多，根本就没有什么解决问题的唯一方法。
它不像1+1=2永远恒定一样，无论是从狄利克雷函数和非线性偏微分方程出发，还是构造有界开域集合，利用拉普拉斯算子来完成非等距同构区域的构造，两者都是解决问题的方法。
尽管这两种方法的差别相差很大。
但数学发展至今，边界早已模湖。
数论、代数学、几何学、拓扑学、数学分析、.....函数论、常微分方程、偏微分方程这些数学的分类早已是你中有我，我中有你。
如今的数学，从一个看似不相关的领域出发，却解决另一个领域的重大难题早已不是什么稀奇的事情。
甚至还有很多的数学家，在专门尝试去将两个不同的领域连接起来。
亦如教皇格罗滕迪克奠定现代代数几何学基础后，无数数学家前仆后继的想要完成代数与几何的大统一一样。
......